Các dạng toán cải thiện lớp 7 tổng hợp một trong những chuyên đề đại số nâng cấp lớp 7 dành riêng cho học sinh hơi giỏi. Hi vọng qua tư liệu này, các bạn học sinh sẽ biết phương pháp vận dụng các kiến thức nhằm giải bài bác tập Toán 7 như toán tính tổng của hàng số mà những số hạng biện pháp đều, hàng số mà những số hạng không giải pháp đều... Mời chúng ta cùng tham khảo.
Bạn đang xem: Những bài toán nâng cao lớp 7
Để luôn tiện trao đổi, share kinh nghiệm về huấn luyện và học tập các môn học tập lớp 7, rongmotorbike.com mời những thầy cô giáo, những bậc bố mẹ và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng giành riêng cho lớp 7 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 7. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU
Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99
Hướng dẫn giải
Cách 1:
B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99).
Ta thấy tổng vào ngoặc bao gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp phải tổng kia là:
(2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949
Khi đó B = 1 + 4949 = 4950
Lời bình: Tổng B bao gồm 99 số hạng, nếu như ta chia các số hạng kia thành cặp (mỗi cặp tất cả 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp trang bị 49 thì tất cả 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?), mang lại đây học sinh sẽ bị vướng mắc.
Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:
Cách 2:
B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 | |
+ | B = 99 + 98 + 97 + ... + 3 + 2 + 1 |
2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 |
⇒ 2B = 100.99
⇒B = 50.99 = 4950
Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Từ 1 cho 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ bắt buộc tổng trên gồm 500 số lẻ.
Áp dụng các bài bên trên ta tất cả C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên bao gồm 250 cặp số)
Cách 2: Ta thấy:
1= 2.1 - 1
3 = 2.2 - 1
5 = 2.3 - 1
...
999 = 2.500 - 1
Quan sát vế phải, vượt số thứ 2 theo thứ tự từ bên trên xuống dưới ta rất có thể xác định được số những số hạng của hàng số C là 500 số hạng.
Xem thêm: Chuỗi Siêu Thị Hàng Nhật Nội Địa Sao Cho 'Chuẩn'? Siêu Thị Sakura
Áp dụng phương pháp 2 của bài trên ta có:
C = 1 + 3 + 5 + ... + 995 + 997 + 999 | |
+ | C = 999 + 997 + 995 + ... + 5 + 3 + 1 |
2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000 |
⇒ 2C = 1000 . 500
⇒C = 1000 . 250 = 250000
Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998
Hướng dẫn giải
Nhận xét: những số hạng của tổng D các là những số chẵn, vận dụng cách có tác dụng của bài bác tập 3 nhằm tìm số các số hạng của tổng D như sau:
Ta thấy:
10 = 2.4 + 2
12 = 2.5 + 2
14 = 2.6 + 2
...
998 = 2.498 + 2
Tương tự bài xích trên: từ 4 mang lại 498 có 495 số yêu cầu ta tất cả số các số hạng của D là 495, còn mặt khác ta lại thấy: 495 = (998 - 10)/2 + 1
số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1 |
Khi đó ta có:
D = 10 + 12 = ... + 996 + 998 | |
+ | D = 998 + 996 ... + 12 + 10 |
2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008 |
2D = 1008.495 → D = 504.495 = 249480
Thực chất D = (998 + 10).495 / 2
Qua các ví dụ trên, ta đúc rút một cách tổng quát như sau:
Cho hàng số biện pháp đều u1, u2, u3, ... Un (*), khoảng cách giữa nhị số hạng thường xuyên của hàng là d.
+ lúc ấy số những số hạng của hàng (*) là: (1)
+ Tổng các số hạng của hàng (*) là: (2)
+ Đặc biệt từ bí quyết (1) ta có thể tính được số hạng sản phẩm công nghệ n của dãy (*) là: un = u1 + (n - 1)dHoặc lúc u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n + 1) /2
DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Ta thấy mỗi số hạng của tổng bên trên là tích của nhì số tự nhiên liên tiếp, khi đó:
Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4…………………..an-1 = (n - 1)n → 3an-1 =3(n - 1)n → 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)nan = n(n + 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)
3(a1 + a2 + ... + an) = n(n + 1)(n + 2) ⇒
Cách 2: Ta có
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3
3A = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)<(n - 2) - (n - 1)>
3A = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
3A = n(n + 1)(n + 2)
* bao quát hoá ta có:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong những số đó k = 1; 2; 3; …
Ta dễ dàng minh chứng công thức trên như sau:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)<(k + 2) - (k - 1)> = 3k(k + 1)
Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính thừa kế của bài bác 1 ta có:
4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ... + (n - 1)n(n + 1).4
4B = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - <(n - 2)(n - 1)n(n + 1)>
4B = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)
Hướng dẫn giải
Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)
2.5 = 2.(2 + 3)
3.6 = 3.(3 + 3)
4.7 = 4.(4 + 3)
…….
n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n
C = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n
C = <1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)> + (2 + 4 + 6 + … + 2n)
⇒ 3C = 3.<1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)> + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)
3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)
3C = n(n + 1)(n + 2) +
⇒ C =
+ =Bài 4: Tính D = 12 + 22 + 32 + .... + n2
Hướng dẫn giải
Nhận xét: các số hạng của bài 1 là tích của hai số thoải mái và tự nhiên liên tiếp, còn ở bài xích này là tích của nhị số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài xích tập 1:
Ta có:
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ n(n + 1)
A = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + .... + n.(n + 1)
A = 12 + 1.1 + 22 + .1 + 32 + 3.1 + ... + n2 + n.1
A = (12 + 22 + 32 + .... + n2) + (1 + 2 + 3 + ... + n)
Mặt khác theo bài bác tập 1 ta có:
với 1 + 2 + 3 + .... + n =⇒D = 12 + 22 + 32 + .... + n2 =
Bài 5: Tính E = 13 + 23 + 33 + ... + n3
Hướng dẫn giải
Tương tự vấn đề ở trên, bắt đầu từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E:
B = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + ... + (n - 1)n(n + 1)
B = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 -1).3.(3 +1) + ....+ (n - 1).n.(n + 1)
B = (23 - 2) + (33 - 3) + .... + (n3 - n)
B = (23 + 33 + .... +n3) - (2 + 3 + ... + n)
B = (13 + 23 + 33 + ... + n3) - (1 + 2 + 3 + ... + n)
B = (13 + 23 + 33 + ... + n3) -
⇒ 13 + 23 + 33 + ... + n3 = B +
Mà
⇒ E = 13 + 23 + 33 + ... + n3 =
+MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN 7 DẠNG KHÁC
Bài 1. Tính S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263
Lời giải
Cách 1:
Ta thấy: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 (1)
2S1 = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264 (2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:
2S1 - S1 = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + 2 + 22 + 23 + … + 263)
= 264 - 1. Tốt S1 = 264 - 1
Cách 2:
Ta có: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 + … + 262) (1)
= 1 + 2(S1 - 263) = 1 + 2S1 - 264 S1 = 264 - 1
Tài liệu vẫn còn..........
----------------------------------------------------------------------
Mời các bạn tải về để xem toàn cục Các dạng toán cải thiện lớp 7. Hi vọng tài liệu này để giúp các em học sinh cải thiện kỹ năng giải bài bác tập Toán 7. Ngoài ra, mời các bạn tham khảo tài liệu sau: Toán lớp 7, Giải bài xích tập Toán lớp 7, Tài liệu học hành lớp 7, Đề thi thân kì 1 lớp 7, Đề thi học tập kì 1 lớp 7